Задача 4.2. Изолированный воздушный конденсатор заряжен зарядом Q, площадь его пластин S, а расстояние между пластинами d1. Какую работу необходимо совершить внешней силой, чтобы увеличить расстояние между пластинами до величины d2 > d1?
| Q S d1 d2 d2 > d1 | Решение. Работа внешней силы пойдет на увеличение энергии конденсатора, поэтому А = W2 – W1 =  =  . |
| А = ? |
Ответ: А 
.
Читатель: А нельзя ли вычислить работу непосредственно по формуле А = Fэл(d2 – d1), где Fэл – сила, с которой притягиваются пластины?
Автор: Можно. Ведь чтобы раздвинуть пластины, одну из них надо закрепить, а к другой приложить силу, равную той, с которой притягиваются пластины, и переместить незакрепленную пластину на расстояние (d2 – d1) (рис. 4.4). Сила F с которой притягиваются пластины, равна
.
А = F(d2 – d1) = 
(d2 – d1).
Как видим, мы получили тот же результат.
СТОП! Решите самостоятельно: А6, В3–В5.
Задача 4.3. Плоский воздушный конденсатор подключили к источнику постоянного напряжения величины U. Площадь пластин конденсатора S, расстояние между ними d1. Какую работу необходимо совершить внешней силой, чтобы уменьшить расстояние между пластинами до величины d2 0, т.е. Авнеш > 0! А Вы только что доказали, что Авнеш С1. Следовательно, заряд на пластинах также увеличивается:
Q2 = C2U > Q1 = C1U.
Таким образом, источник напряжения как бы «перетащил» заряд DQ = Q2 – Q1 = (C2 – C1)U с отрицательно заряженной пластины на положительно заряженную (рис. 4.6). При этом источнику пришлось совершить работу против сил электрического поля в конденсаторе:
.
А общая работа источника напряжения и внешней силы как раз равна изменению энергии конденсатора:
Авнеш = (W2 – W1) – Аист = = 
.
Как видите, работа внешних сил действительно получилась отрицательной.
Ответ: 
.
Читатель: Если пластины раздвигать, то работа внешних сил, конечно, будет положительной, а вот какой будет работа источника?
Автор: Отрицательной. Ведь заряды на пластинах будут уменьшаться, следовательно, DQ = Q2 – Q1
Задача 4.4. Изолированный конденсатор имеет заряд Q. Между его обкладками находится пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. Емкость конденсатора без пластины равна С. Какую работу надо совершить внешней силой, чтобы вытащить пластину из конденсатора?
| Q С e | Решение. Читатель: Я не понимаю, почему для того, чтобы вытащить пластину диэлектрика из конденсатора, надо совершать работу. Ведь поле в конденсаторе однородно, значит, никаких сил, действующих по касательным к пластинам, быть не может. Кроме того, пластина из диэлектрика электрически нейтральна. Автор: Во-первых, на краях обкладок поле неоднородно, а во-вторых, не надо забывать про поляризационные заряды! Силовые линии на краях конденсатора имеют вид, показанный на рис. 4.7. Мы видим, что |
| Авнеш = ? | |
 Рис. 4.7 |
напряженность поля там как раз имеет касательную к пластинам составляющую. И именно из-за этого на поляризационные заряды действует сила, «возвращающая» пластину в конденсатор. Поэтому чтобы вытащить пластину из конденсатора, необходимо приложить внешнюю силу.
Теперь осталось вычислить работу внешней силы. Если емкость конденсатора без диэлектрика равна C, то емкость с диэлектриком eС. Тогда начальная энергия конденсатора 
, а конечная 
. Работа внешней силы равна изменению энергии конденсатора:
.
Ответ: 
.
СТОП! Решите самостоятельно: А7, В7–В9, С7.
Задача 4.5. Воздушный конденсатор емкостью С подключен к источнику напряжения U. Какую работу надо совершить внешней силе, чтобы вставить в конденсатор пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e?
| U C e | Решение. Сначала заряд на конденсаторе был равен Q1 = CU. После того как вставили пластину, заряд увеличился и стал равным Q1 = eCU. Следовательно, источник совершил работу Аист = U(Q2 – Q1) = U(eCU – CU) = U 2 C(e – 1) > 0. |
| Авнеш = ? |
Суммарная работа источника и внешней силы равна изменению энергии конденсатора:
Авнеш = (W2 – W1) – Аист = 
Таким образом, работа внешней силы отрицательна: пластина сама будет втягиваться в конденсатор.
Ответ: Авнеш 
.
СТОП! Решите самостоятельно: В11, В12, В14.
Задача 4.6. Плоский конденсатор подключен к источнику напряжения U (рис. 4.8). Площадь каждой пластины конденсатора S, расстояние между пластинами d1. К нижней пластине прижата металлическая пластинка той же площади S, толщины d2 и массы т. Металлическую пластинку отпускают. С какой скоростью она ударится о верхнюю пластину конденсатора? Силой тяжести пренебречь.
| U S d1 d2 m | Решение. Если бы конденсатор не был подключен к источнику напряжения, то после того, как пластинка «подпрыгнула» и ударилась о верхнюю обкладку, конденсатор бы полностью разрядился. Однако в данном случае источник «загонит» на обкладку новые заряды +q и –q в точности равные старым: q = CU. При этом |
| υ = ? |
энергия конденсатора 
не изменится, но источник совершит работу 
.
И эта работа как раз и пойдет на увеличение кинетической энергии пластинки: 
, тогда
.
Ответ: 
.
Задача 4.2. Изолированный воздушный конденсатор заряжен зарядом Q, площадь его пластин S, а расстояние между пластинами d1. Какую работу необходимо совершить внешней силой, чтобы увеличить расстояние между пластинами до величины d2 > d1?
| Q S d1 d2 d2 > d1 | Решение. Работа внешней силы пойдет на увеличение энергии конденсатора, поэтому А = W2 – W1 = = . |
| А = ? |
Ответ: А .
Читатель: А нельзя ли вычислить работу непосредственно по формуле А = Fэл(d2 – d1), где Fэл – сила, с которой притягиваются пластины?
Автор: Можно. Ведь чтобы раздвинуть пластины, одну из них надо закрепить, а к другой приложить силу, равную той, с которой притягиваются пластины, и переместить незакрепленную пластину на расстояние (d2 – d1) (рис. 4.4). Сила F с которой притягиваются пластины, равна
.
А = F(d2 – d1) = (d2 – d1).
Как видим, мы получили тот же результат.
СТОП! Решите самостоятельно: А6, В3–В5.
Задача 4.3. Плоский воздушный конденсатор подключили к источнику постоянного напряжения величины U. Площадь пластин конденсатора S, расстояние между ними d1. Какую работу необходимо совершить внешней силой, чтобы уменьшить расстояние между пластинами до величины d2 0, т.е. Авнеш > 0! А Вы только что доказали, что Авнеш С1. Следовательно, заряд на пластинах также увеличивается:
Q2 = C2U > Q1 = C1U.
Таким образом, источник напряжения как бы «перетащил» заряд DQ = Q2 – Q1 = (C2 – C1)U с отрицательно заряженной пластины на положительно заряженную (рис. 4.6). При этом источнику пришлось совершить работу против сил электрического поля в конденсаторе:
.
А общая работа источника напряжения и внешней силы как раз равна изменению энергии конденсатора:
Авнеш = (W2 – W1) – Аист = =
.
Как видите, работа внешних сил действительно получилась отрицательной.
Ответ: .
Читатель: Если пластины раздвигать, то работа внешних сил, конечно, будет положительной, а вот какой будет работа источника?
Автор: Отрицательной. Ведь заряды на пластинах будут уменьшаться, следовательно, DQ = Q2 – Q1
Задача 4.4. Изолированный конденсатор имеет заряд Q. Между его обкладками находится пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e. Емкость конденсатора без пластины равна С. Какую работу надо совершить внешней силой, чтобы вытащить пластину из конденсатора?
| Q С e | Решение. Читатель: Я не понимаю, почему для того, чтобы вытащить пластину диэлектрика из конденсатора, надо совершать работу. Ведь поле в конденсаторе однородно, значит, никаких сил, действующих по касательным к пластинам, быть не может. Кроме того, пластина из диэлектрика электрически нейтральна. Автор: Во-первых, на краях обкладок поле неоднородно, а во-вторых, не надо забывать про поляризационные заряды! Силовые линии на краях конденсатора имеют вид, показанный на рис. 4.7. Мы видим, что |
| Авнеш = ? | |
| Рис. 4.7 |
напряженность поля там как раз имеет касательную к пластинам составляющую. И именно из-за этого на поляризационные заряды действует сила, «возвращающая» пластину в конденсатор. Поэтому чтобы вытащить пластину из конденсатора, необходимо приложить внешнюю силу.
Теперь осталось вычислить работу внешней силы. Если емкость конденсатора без диэлектрика равна C, то емкость с диэлектриком eС. Тогда начальная энергия конденсатора , а конечная . Работа внешней силы равна изменению энергии конденсатора:
.
Ответ: .
СТОП! Решите самостоятельно: А7, В7–В9, С7.
Задача 4.5. Воздушный конденсатор емкостью С подключен к источнику напряжения U. Какую работу надо совершить внешней силе, чтобы вставить в конденсатор пластину из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e?
| U C e | Решение. Сначала заряд на конденсаторе был равен Q1 = CU. После того как вставили пластину, заряд увеличился и стал равным Q1 = eCU. Следовательно, источник совершил работу Аист = U(Q2 – Q1) = U(eCU – CU) = U 2 C(e – 1) > 0. |
| Авнеш = ? |
Суммарная работа источника и внешней силы равна изменению энергии конденсатора:
Авнеш = (W2 – W1) – Аист =
Таким образом, работа внешней силы отрицательна: пластина сама будет втягиваться в конденсатор.
Ответ: Авнеш .
СТОП! Решите самостоятельно: В11, В12, В14.
Задача 4.6. Плоский конденсатор подключен к источнику напряжения U (рис. 4.8). Площадь каждой пластины конденсатора S, расстояние между пластинами d1. К нижней пластине прижата металлическая пластинка той же площади S, толщины d2 и массы т. Металлическую пластинку отпускают. С какой скоростью она ударится о верхнюю пластину конденсатора? Силой тяжести пренебречь.
| U S d1 d2 m | Решение. Если бы конденсатор не был подключен к источнику напряжения, то после того, как пластинка «подпрыгнула» и ударилась о верхнюю обкладку, конденсатор бы полностью разрядился. Однако в данном случае источник «загонит» на обкладку новые заряды +q и –q в точности равные старым: q = CU. При этом |
| υ = ? |
энергия конденсатора не изменится, но источник совершит работу .
И эта работа как раз и пойдет на увеличение кинетической энергии пластинки: , тогда
.
Ответ: .
2017-10-13 
Пластина из диэлектрика с проницаемостью е занимает все пространство между обкладками плоского конденсатора, расстояние между которыми равно $d$ (рис. 1). Конденсатор соединен с источником постоянного напряжения $U$. Диэлектрическую пластину вытягивают из конденсатора. Как нужно изменить расстояние между обкладками, чтобы энергия конденсатора приняла первоначальное значение? Рассмотреть два случая: 1) перед вытягиванием пластины конденсатор отсоединяют от источника напряжения; 2) ключ К остается все время замкнутым.
Рассмотрим вначале первый случай, когда перед тем, как вынуть пластину, конденсатор отсоединяют от источника. Это значит, что в дальнейшем заряды на пластинах конденсатора остаются неизменными. Поэтому для энергии конденсатора $W$ в этом случае удобно воспользоваться выражением
После вытягивания диэлектрической пластины емкость конденсатора, очевидно, уменьшается в е раз. Из формулы (1) видно, что энергия конденсатора при этом возрастает в $epsilon$ раз: $W^ < prime>= epsilon W$. Чем объясняется увеличение электростатической энергии конденсатора? Так как источник напряжения отключен, то единственной причиной увеличения энергии может быть работа, совершаемая внешними силами при вытягивании диэлектрической пластины. Отсюда немедленно вытекает, что на диэлектрическую пластину, вытягиваемую из конденсатора, со стороны электрического поля действует сила, которая стремится втянуть пластину обратно. Именно с преодолением этой втягивающей силы и связано совершение работы, приводящее к увеличению энергии конденсатора.
Чтобы энергия конденсатора приобрела прежнее значение при неизменном заряде на его пластинах, нужно, как видно из формулы (1), чтобы емкость конденсатора приняла первоначальное значение в отсутствие диэлектрической пластины. Этого можно добиться, уменьшая расстояние между обкладками. Поскольку емкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию между его обкладками, то новое расстояние $d_<1>$ должно быть в $epsilon$ раз меньше старого: $d_ <1>= d / epsilon$.
То, что для уменьшения энергии конденсатора пластины должны сблизиться, можно увидеть и из закона сохранения энергии. Для уменьшения своей энергии система должна совершить положительную работу над внешними телами, т. е. притягивающиеся друг к другу разноименно заряженные обкладки конденсатора должны сблизиться. При этом над внешними телами совершается работа, так как для равномерного перемещения обкладок силы их взаимного притяжения должны быть уравновешены внешними силами.
Перейдем ко второму случаю. При замкнутом ключе К все время остается неизменным напряжение на конденсаторе. Теперь для энергии конденсатора более удобным является выражение
Так как при вытягивании диэлектрической пластины емкость конденсатора уменьшается в е раз, то во столько же раз уменьшается энергия конденсатора. Как можно объяснить уменьшение энергии конденсатора? Ведь при вытягивании диэлектрической пластины внешние силы совершают положительную работу, и энергия системы при этом должна возрастать. Она и действительно возрастает, но только система в этом случае кроме конденсатора содержит еще и источник напряжения. Что происходит в источнике при вытягивании пластины? Заряд конденсатора при уменьшении его емкости также уменьшается. Поэтому в процессе вытягивания пластины источник совершает отрицательную работу, ибо уменьшение заряда конденсатора сопровождается прохождением заряда через источник в обратном направлении. Если источник питания представляет собой аккумулятор, то он при этом заряжается.
Используя закон сохранения энергии, можно найти, какую работу совершают внешние силы при вытягивании пластины. Прежде всего покажем, что в цепи, где конденсатор присоединен к источнику питания, работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора при любых происходящих процессах. Если заряд конденсатора изменился на $Delta q$, то, как следует из формулы для энергии конденсатора $W$, записанной в виде
изменение энергии конденсатора
Источник питания при прохождении через него заряда $Delta q$ совершает работу $A_ <ист>= Delta U$. Поэтому
$A_ <ист>= 2 Delta W$. (5)
Теперь можно составить уравнение баланса энергии для рассматриваемого в задаче процесса и найти работу внешних сил А:
$A + A_ <ист>= Delta W$. (6)
Используя соотношение (5), отсюда находим
Поскольку энергия конденсатора уменьшается ($Delta W 0$).
Ответ на поставленный в условии задачи вопрос виден уже из формулы (2): чтобы энергия конденсатора приняла прежнее значение, т. е. увеличилась в $epsilon$ раз, необходимо увеличить емкость конденсатора тоже в $epsilon$ раз. Для этого расстояние между пластинами, так же как в первом случае, нужно уменьшить в $epsilon$ раз. Но, в отличие от первого случая, где при сближении обкладок энергия конденсатора убывала, здесь она возрастает. И это происходит несмотря на то, что при сближении обкладок конденсатора, как и в первом случае, совершается положительная работа над внешними телами. Выполнение закона сохранения энергии оказывается возможным благодаря тому, что источник напряжения совершает при сближении обкладок конденсатора положительную работу, которая обеспечивает и увеличение энергии конденсатора, и совершение работы над внешними телами.
То, что на вытягиваемую из конденсатора диэлектрическую пластину действует сила, стремящаяся втянуть ее обратно, мы увидели из энергетических соображений. Но как объяснить механизм возникновения этой силы? Диэлектрическая пластина в целом электронейтральна. В электрическом поле каждый элемент объема пластины становится подобным диполю, ориентированному вдоль поля. В тех местах, где электрическое поле однородно, действующие на такие диполи силы равны нулю. Сила отлична от нуля только там, где электрическое поле неоднородно. Поэтому, пока диэлектрическая пластина целиком находится внутри конденсатора, где электрическое поле однородно, действующая на нее сила равна нулю. Но как только часть пластины оказывается выдвинутой из конденсатора в область, где поле неоднородно, на диполи этой части пластины действуют силы, направленные туда, где напряженность поля больше, т. е. внутрь конденсатора. Таким образом, физическая причина появления втягивающей силы обусловлена неоднородностью электрического поля вблизи краев пластины конденсатора.
