Какие векторы образуют базис на плоскости

В случае неколлинеарности двух векторов аи b любой третий вектор с, компланарный с, а и b, как следует из рисунка 16, можно однозначно представить в виде

с= xa + yb, (1)

Линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n называется вектор

где х₁, х₂, …, х_n – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор а представлен в виде линейной комбинации (2), то будем говорить, что а разложен по векторам а₁, а₂, …, а_n. В частности, на основании равенства (1) мы можем сказать, что вектор сразложен по векторам aи b.

Векторным базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара (е₁; е₂) неколлинеарных векторов этой плоскости.

Можно заметить, что каждая плоскость содержит бесконечное мно-
жество базисов.

По аналогии с выводом, сделанным из рисунка 16, можно утверждать, что любой вектор а некоторой плоскости можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е₁, е₂ этой плоскости, т. е.

а = хе₁ + уе₂. (3)

Из этого следует вывод: если на плоскости выбран базис (е₁; е₂), то каждому вектору а этой плоскости ставится в соответствие един-
ственная упорядоченная пара действительных чисел х, y и, обратно, каждой упорядоченной паре чисел х, y поставлен в соответствие един-
ственный вектор а, который определяется равенством (3). При этом числа х, y мы будем называть координатами вектора а в базисе (е₁; е₂).

Ортонормированным базисом называется такой базис (i; j), который удовлетворяет условиям: i^ j, | i| = | j| = 1, т. е. векторы i, j этого базиса единичны и взаимно перпендикулярны. В этом случае, если
а = (х; y) в базисе (i; j), то а = хi + yj и наоборот. Числа х, y называются координатами вектора а в базисе (i; j).

Два вектора а = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂) образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Пример 1. Разложение вектора а= (–3; 7) по базису (i; j) имеет вид а= –3i+ 7j. Если же а = 2i – 3j, то координатами вектора а в базисе
(i; j) будут (2; –3).

Чтобы найти координаты вектора , надо от координат конца В этого вектора вычесть координаты его начала А, т. е. если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то =

Пример 2.Пусть А(3; –5), В(–2; 3), тогда = (–2 – 3; 3 – (–5)) =
= (–5; 8).

Тест 1. Найти координаты вектора , если А(3; 4), В(5; 7):

Пример 3. Пара векторов а = (1; 2), b = (–3; 5) образует базис на плоскости, так как определитель, составленный из координат, не равен 0: = 1 × 5 – 2 × (–3) = 11 0.

Тест 2. Определить, какие из следующих пар векторов не образуют базис на плоскости:

Векторным базисом пространства называется любая упорядоченная тройка (ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃) некомпланарных векторов этого пространства.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a × b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

(4)

где j – угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.

Знак скалярного произведения определяется величиной j:

если 0 £ j £ то a × b ³ 0,

если же

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом в единственном числе.

Выражение называется разложением вектора по базису . Докажем что это выражение единственное (методом от противного)

Согласно 2 определению линейной зависимости вектор линейно зависисмы т.е. колинеарны, а это невозможно т.к. они базисные, следовательно предположение о втором разложении не верно.

Замечание: коэффициенты называют координатами вектора в данном базисе.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Это размножение так же единственно, доказывается аналогично R 2

Например, . Здесь , , − базисные векторы. Коэффициенты , , разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами , , . Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис , , поэтому называется ортонормированным. Любой вектор в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде .

Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения , , (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.

5.. Проекция вектора на ось, свойства. Прямоугольная система координат (…).

Проекцией вектора АВ длина отрезка А₁В₁взятая со знаком + если направление вектора А₁В₁совпадает с направление оси и с – если нет.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле:

Направление вектора задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:

, , .

Направляющие косинусы связаны соотношением

Если векторы и коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:

, , .

Откуда, введя обозначение , получим условия коллинеарности векторов и :

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , причем и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

, , ,

при этом длина вектора определяется следующим образом

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются

При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не все равные нулю одновременно и такие, что

Система векторов , называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда
Теорема: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор системы можно представить, как линейную комбинацию остальных.

Доказательство:

1)Пусть линейно зависимая система, тогда существует и и среди λ есть λ не равная нулю.

2)Обратное утверждение:

Тогда по определению — линейно зависимая.

Замечание:Любая линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

Базис в пространстве (ЛВП)

Элементы называются базисом линейного векторного пространства (ЛВП), если — максимальная по включению линейно независимая система векторов L.

(Максимальной по включению – система линейно независимая, но добавление любого вектора делает систему линейно зависимой).

Теорема: Система векторов образует базис ЛВП Ln, тогда и только тогда, когда любой вектор принадлежащий Ln можно представить как линейную камбинацию векторов базиса и это разложение единственно.