Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.
Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.
Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе — значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.
Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат — накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты — соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
«Юго-Западный государственный университет»
Кафедра финансов и кредита
Лабораторная работа №1
Методы группировки статистических данных
студент 1 курса
группы ЭБ-21 Гревцева Наталья
к.э.н., ст. преподаватель Обухова Анна Сергеевна
Курск 2013
Выборочный метод.
Статистическое распределение выборки
При изучении величины, принимающей случайные значения (результатов физических измерений в серии экспериментов, экономических показателей, параметров технологических процессов и т.п.), мы имеем дело с выборками. Выборочное наблюдение – это способ наблюдения, при котором обследуется не вся совокупность значений изучаемой величины, а лишь часть ее, отобранная по определенным правилам выборки и обеспечивающая получение данных, характеризующих всю совокупность в целом.
При выборочном наблюдении обследованию подвергается определенная, заранее обусловленная часть совокупности, а результаты обследования распространяются на всю совокупность.
Ту часть единиц, которая отобрана для наблюдения, принято называть выборочной совокупностью или выборкой, а всю совокупность единиц, из которых производится отбор, — генеральной совокупностью.
Существуют различные способы формирования выборки (случайный, механический, типический, серийный (гнездовой)), но в математической статистике изучается собственно-случайная выборка с повторным отбором или бесповторным отбором.
Собственно-случайная выборка формируется с помощью жеребьевки либо по таблице случайных чисел. Всем элементам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера, затем производится выбор случайных номеров с помощью датчиков случайных чисел или из специальных таблиц, которые образуют порядковые номера для отбора.
При повторном отборе единица наблюдения после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается в генеральную совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом.
При бесповоротном отборе элемент в выборку не возвращается.
Число единиц (элементов) статистической совокупности называется ее объемом. Объем генеральной совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности n.
Если объем генеральной совокупности велик, то разница между повторной или бесповторной выборками незначительна.
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна (представительна).
Сущность выборочного метода заключается в том, что выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), распространяются на всю генеральную совокупность. Математическая статистика занимается обоснованием такого приема, применяя теорию вероятностей.
Вариационный ряд
Элементами выборки < 
, 
…, 
> являются числовые значения, называемые вариантами, которые могут быть дискретными, т.е. изолированными (например, целыми числами), или могут принимать значения из некоторого интервала (a,b). Другими словами, выборка может быть частью генеральной совокупности, которая соответствует дискретной или непрерывной случайной величине.
Вариационный ряд получается из выборки упорядочением по возрастанию (или убыванию) и подсчетом частоты каждого значения. Если выборка соответствует дискретной случайной величине, то вариационный ряд представляет собой таблицу, которая ставит в соответствие каждому значению его частоту 
. Такой ряд носит название дискретный вариационный ряд.
Например, на основе наблюдения за ростом растения получены n=50 значений числа почек на единицу длины ветки (пример 3.1, табл.3.2). Понятно, что здесь мы имеем пример дискретной случайной величины, так как число почек может быть только целым.
Если нам известно, что исследуемый показатель может принимать любые значения из некоторого интервала (a,b), то строим интервальный вариационный ряд с помощью группировки вариант.
Существуют различные способы группировки вариант, среди которых является метод равных интервалов.
Рассмотрим алгоритм группировки методом равных интервалов.
1. Сначала определяют число интервалов m. Для этого обычно применяют формулу Стреджесса:
m = 1 + 3,22 × lg n. (3.1)
Число m округляют до целого значения.
Приведем еще несколько формул расчета числа интервалов:
m = 
— 0,013n , (3.1a)
m = 1,72 
(3.1b)
m = 
+ 1. (3.1c)
В программе Excel есть процедура «Гистограмма», которая умеет строить вариационный ряд и вычисляет число интервалов по формуле (3.1с). Пример применения процедуры «Гистограмма» приведен ниже.
В табл. 3.1 вычислены рекомендуемые формулами (3.1), (3.1а), (3.1b) и (3.1с) числа интервалов. Значения приведены с округлением до целого.
Таблица 3.1
| Объем выборки n | Рекомендуемое число интервалов | ||
| формула 3.1 | формула 3.1а | формула 3.1b | формула 3.1 с |
| 3,723 | 2,555 | 3,29 | 3,646 |
| 4,965 | 3,902 | 4,423 | 5,123 |
| 5,612 | 4,845152 | 5,16 | 6,196 |
| 6,053 | 5,602 | 5,731 | 7,083 |
| 6,388 | 6,245 | 6,207 | 7,856 |
| 6,658 | 6,809 | 6,619 | 8,55 |
| 6,884 | 7,314 | 6,986 | 9,185 |
2. Далее вычисляют границы интервалов.
Приведём два способа определения границ.
В первом способе длину интервала вычисляют по формуле.
h= 
xmin=min i>, xmax=i>, (3.2a) и определяют границы интервалов по формулам:
При таком выборе хmin попадает в середину первого интервала, а xmax – в середину последнего, и число интервалов m.
Во втором способе длина интервала и границы вычисляются по формулам:
h= 
(3.2б)
При этом хmin относится к первому, а xmax – к последнему интервалам.
h= 
10
3. После определения границ интервалов вычисляют для каждого j-того интервала
Xср.j 
(3.4)
и частоту nj т.е. число таких элементов xi выборки, которые удовлетворяют условиям
j-1 накопл = 
wj накопл = 
= 
, j= 1,…,m. (3.7)
Вариационный ряд записывают в виде таблицы (табл.3.2)
Приведем два способа определения границ.
В первом способе длину интервала определяют по формуле.
h= 
, xmin= mini>, xmaxi>, (3.2a)
определяют границы интервалов по формулам:
При таком выборе xmin попадет в середину первого интервала, а xmax — в середину последнего, и число интервалов равно m.
Во втором способе длина интервала и границы вычисляются по формулам:
h= 
(3.3а)
При этом хmin относят к первому, а хmax — к последнему интервалам
Таблица 3.2
| Номер интервала j | Интервал (  j-1, j] |
Середина интервала Xср.j | Частота nj | Накопленная частота nj накопл | Частость wk | Накопленная частость wj накопл |
| (2,12] | 0,14 | 0,14 | ||||
| (12,22] | 0,24 | 0,38 | ||||
| (22,32] | 0,33 | 0,71 | ||||
| (32,42] | 0,43 | 1,14 | ||||
| (42,52] | 0,53 | 1,67 | ||||
| (52,62] | 0,63 | 2,3 |
Замечание. Вариационный ряд можно задать двумя столбцами: интервалами (или их серединами) и частотами. Остальные столбцы легко вычисляются.
При повторном отборе единица наблюде6ния после извлечения из генеральной совокупности регистрируется и вновь возвращается генеральная совокупность, откуда опять может быть извлечена случайным образом.
При бесповторном отборе элемент в выборку не возвращается.
Число единиц (Элементов) статистической совокупности называется ее объемом. Объем генеральн6ой совокупности обозначается N, а объем выборочной совокупности n.
Если объем генеральной совокупности велик, то разница между повторным или бесповторными выборками незначительна.
Качество результатов выборочного наблюдения зависит от того, насколько состав выборки представляет генеральную совокупность, иначе говоря, от того, насколько выборка репрезентативна (представительна).
Сущность выборочного метода заключается в том, что выводы, сделанные на основе изучения части совокупности (случайной выборки), распространяется на всю генеральную совокупность. Математическая статистика занимается обоснованием такого приема, применяя теорию вероятности.
Гистограмма, полигон, кумулята и огива
Для графического изображения вариационного ряда используются гистограмма, полигонов, кумулята и огива.
Для дискретного вариационного ряда полигон частот представляет собой многоугольник (рис. 3.1), ограниченный осью ОХ и ломанной, соединяющей точки ( ,0), ( , ), ( 
),…,( 
, 
), ( 
,0)
Для интервального вариационного ряда с равными интервалами гистограмма частот состоит из прямоугольников, ширина которых равна длине интервала, а высота пропорциональна частоте (рис. 3.2). Для интервального ряда с неравными интервалами ширина прямоугольника равна длине соответствующего интервала, а высота пропорциональна плотности частоты, равной отношению частоты к длине интервала.
В общем случае гистограмма состоит из прямоугольников, ширина каждого из которых равна длине соответствующего интервала, а площадь прямоугольников пропорциональна частоте или относительной частоте. При этом сумма площадей всех прямоугольников равна сумме частот или единице.
Обычно гистограмму состоят по относительным частотам, так чтобы сумма площадей прямоугольников была равна единице. Тогда ломаная, соединяющая середины верхних сторон прямоугольников (полигон), является аналогом графика плотности вероятностей распределения.
При больших объемах выборки полигон относительных частот приближенно отображает график функции плотности вероятностей генерального распределения.
Полигон накопленных частот строится так же, как и полигон частот, при этом вместо частот используются накопленные частоты.
Для непрерывного признака на оси абсцисс откладываются значения середин интервалов, а на оси ординат – накопленные частоты или накопленные частости. Полученные точки соединяют гладкой кривой, которая называется кумулятивной кривой (или кумулятой). Кумулята, построенная по накопленным частотам, при больших объемах выборки является приближением к графику функции распределения вероятностей генеральной совокупности.
Огива в англоязычной литературе определяется как сглаженный график накопленных частот, т.е. это кумулята.
В российских учебниках по статистике огива определяется по-разному.
В одном случае огива — это ломаная, соединяющая точки, полученные при откладывании значений вариант на оси ординат, а накопленные частот — на оси абсцисс (Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А., Шувалова Е. Б. Теория статистики: учебник,М.: Финансы и статистика, 2006).
В другом случае огива строится так же, как и кумулята, только вместо накопленных частот используются частоты, подсчитанные с условием «больше чем» (Теория статистики: учебник / под ред.: «проф. Г. Л. Громыко. — М.: ИНФРА-М, 2000).
Таблица 3.2
| Номер интервала j | Интервал (хо-1,хj] | Середина интервала | Частота n | Накопленная частота Nj накопл. |
| (2,12] | ||||
| (12,22] | ||||
| (22,32] | ||||
| (32,42] | ||||
| (42,52] | ||||
| (52,62] |
Введем в программе Excel исходные данные из таблицы 3.2 и построим полигон (рис.3.3) и гистограмму (рис. 3.4).
Построим кумулятивную кривую. Введем варианты и накопленные частоты в Exel, выделим диапАзон A1:B2, выберем тип диаграммы «Точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями». После преобразований получим диаграмму, изображенную на рис. 3.5.
Если мы просто поменяем местами столбцы A1 :A6 и B1: B6, то диаграмма преобразуется в огиву. После замены заголовка и форматирования осей получим диаграмму на рис. 3.6. Эта кривая соответствует определению огивы из первого из указанных выше учебников.
В одном случае огива – это ломаная, соединяющая точки, полученные при откладывании значений вариант на оси ординат, а накопленных частот – на оси абсцисс (Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А., Шувалова Е.Б. Теория статистики: учебник. – М.: Финансы и статистика, 2006).
В другом случае огива строится так же, как и кумулята, только вместо накопленных частот используются частоты, подсчитанные с условием «больше чем» (Теория статистики: учебник / под ред. проф. Г.Л. Громыко. – М.: ИНФРА-М,2000).
- Предмет статистики
- Основные методы и задачи статистики
После определения группировочного признака, количества групп и интервалов группировки данные сводки и группировки представляются в виде рядов распределения и оформляются в виде статистических таблиц.
Ряд распределния является одним из видов группировок.
Ряд распределения — представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.
В зависимости от признака, положенного в основу образования ряда распределения различают атрибутивные и вариационные ряды распределения:
- Атрибутивными — называют ряды распределения, построенные по качественными признакам.
- Ряды распределения, построенные в порядке возрастания или убывания значений количественного признака называются вариационными.
Вариационный ряд распределения состоит из двух столбцов:
В первом столбце приводятся количественные значения варьирующегося признака, которые называются вариантами и обозначаются . Дискретная варианта — выражается целым числом. Интервальная варианта находится в пределах от и до. В зависимости от типа варианты можно построить дискретный или интервальный вариационный ряд.
Во втором столбце содержится количество конкретных вариант, выраженное через частоты или частости:
Частоты — это абсолютные числа, показывающие столько раз в совокупности встречается данное значение признака, которые обозначают . Сумма всех частот равна должна быть равна численности единиц всей совокупности.
Частости ( ) — это частоты выраженные в процентах к итогу. Сумма всех частостей выраженных в процентах должна быть равна 100% в долях единице.
Графическое изображение рядов распределения
Наглядно ряды распределения представляются при помощи графических изображений.
Ряды распределения изображаются в виде:
Полигон
При построении полигона на горизонтальной оси (ось абсцисс) откладывают значения варьирующего признака, а на вертикальной оси (ось ординат) — частоты или частости.
Полигон на рис. 1 построен по данным микропереписи населения России в 1994 г.
| Домохозяйства, состоящие из: | одного человека | двух человек | трех человек | 5 или более | всего |
| Число домохозяйств в % | 19,2 | 26,2 | 22,6 | 20,5 | 100,0 |
Рис. 1. Распределение домохозяйств по размеру
Условие: Приводятся данные о распределении 25 работников одного из предприятий по тарифным разрядам:
4; 2; 4; 6; 5; 6; 4; 1; 3; 1; 2; 5; 2; 6; 3; 1; 2; 3; 4; 5; 4; 6; 2; 3; 4
Задача: Построить дискретный вариационный ряд и изобразить его графически в виде полигона распределения.
Решение:
В данном примере вариантами является тарифный разряд работника. Для определения частот необходимо рассчитать число работников, имеющих соответствующий тарифный разряд.
| Тарифный разряд Xi |
Число работников fi |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 3 |
| 6 | 4 |
| Итого: | 25 |
Полигон используется для дискретных вариационных рядов.
Для построения полигона распределения (рис 1) по оси абсцисс (X) откладываем количественные значения варьирующего признака — варианты, а по оси ординат — частоты или частости.
Если значения признака выражены в виде интервалов, то такой ряд называется интервальным.
Интервальные ряды распределения изображают графически в виде гистограммы, кумуляты или огивы.
Статистическая таблица
Условие: Приведены данные о размерах вкладов 20 физических лиц в одном банке (тыс.руб) 60; 25; 12; 10; 68; 35; 2; 17; 51; 9; 3; 130; 24; 85; 100; 152; 6; 18; 7; 42.
Задача: Построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами.
Решение:
- Исходная совокупность состоит из 20 единиц (N = 20).
- По формуле Стерджесса определим необходимое количество используемых групп: n=1+3,322*lg20=5
- Вычислим величину равного интервала: i=(152 — 2) /5 = 30 тыс.руб
- Расчленим исходную совокупность на 5 групп с величиной интервала в 30 тыс.руб.
- Результаты группировки представим в таблице:
| Размер вкладов тыс.руб Xi |
Число вкладов fi |
Число вкладов в % к итогу Wi |
| 2 — 32 | 11 | 55 |
| 32 — 62 | 4 | 20 |
| 62 — 92 | 2 | 10 |
| 92 — 122 | 1 | 5 |
| 122 — 152 | 2 | 10 |
| Итого: | 20 | 100 |
При такой записи непрерывного признака, когда одна и та же величина встречается дважды (как верхняя граница одного интервала и нижняя граница другого интервала), то эта величина относится к той группе, где эта величина выступает в роли верхней границы.
Гистограмма
Для построения гистограммы по оси абсцисс указывают значения границ интервалов и на их основании строят прямоугольники, высота которых пропорциональна частотам (или частостям).
На рис. 2. изображена гистограмма распределения населения России в 1997 г. по возрастным группам.
| Все население | В том числе в возрасте | ||||||||
| до 10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70 и старше | Всего | |
| Численность населения | 12,1 | 15,7 | 13,6 | 16,1 | 15,3 | 10,1 | 9,8 | 7,3 | 100,0 |
Рис. 2. Распределение населения России по возрастным группам
Условие: Приводится распределение 30 работников фирмы по размеру месячной заработной платы
| Размер заработной платы руб. в месяц |
Численность работников чел. |
| до 5000 | 4 |
| 5000 — 7000 | 12 |
| 7000 — 10000 | 8 |
| 10000 — 15000 | 6 |
| Итого: | 30 |
Задача: Изобразить интервальный вариационный ряд графически в виде гистограммы и кумуляты.
Решение:
- Неизвестная граница открытого (первого) интервала определяется по величине второго интервала: 7000 — 5000 = 2000 руб. С той же величиной находим нижнюю границу первого интервала: 5000 — 2000 = 3000 руб.
- Для построения гистограммы в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладываем отрезки, величины которых соответствуют интервалам варицонного ряда.
Эти отрезки служат нижним основанием, а соответствующая частота (частость) — высотой образуемых прямоугольников. - Построим гистограмму:
Для построения кумуляты необходимо рассчитать накопленные частоты (частости). Они определяются путем последовательного суммирования частот (частостей) предшествующих интервалов и обозначаются S. Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют значение признака не больше, чем рассматриваемое.
Кумулята
Распределение признака в вариационном ряду по накопленным частотам (частостям) изображается с помощью кумуляты.
Кумулята или кумулятивная кривая в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 3).
Рис. 3. Кумулята распределения домохозяйств по размеру
4. Рассчитаем накопленные частоты:
Наколенная частота первого интервала рассчитывается следующим образом: 0 + 4 = 4, для второго: 4 + 12 = 16; для третьего: 4 + 12 + 8 = 24 и т.д.
| Размер заработной платы руб в месяц Xi |
Численность работников чел. fi |
Накопленные частоты S |
| до 5000 | 4 | 4 |
| 5000 — 7000 | 12 | 16 |
| 7000 — 10000 | 8 | 24 |
| 10000 — 15000 | 6 | 30 |
| Итого: | 30 | — |
При построении кумуляты накопленная частота (частость) соответствующего интервала присваивается его верхней границе:
Огива
Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.
Разновидностью кумуляты является кривая концентрации или график Лоренца. Для построения кривой концентрации на обе оси прямоугольной системы координат наносится масштабная шкала в процентах от 0 до 100. При этом на оси абсцисс указывают накопленные частости, а на оси ординат — накопленные значения доли (в процентах) по объему признака.
Равномерному распределению признака соответствует на графике диагональ квадрата (рис. 4). При неравномерном распределении график представляет собой вогнутую кривую в зависимости от уровня концентрации признака.
